好的。呃，好的。那么，那么今天，好的，让我先提醒一下你们，以防你们忘了我们上次讲了什么。
呃，上次我花了不少时间讨论引力坍缩，因为我认为它构成了许多这些发展的基础，这些发展最终形成了我们所说的热力学。
然后我回顾了黑洞力学定律，这些定律被证明与热力学定律有着惊人地相似之处。如果你还记得，有第零定律。也许有人能告诉我第零定律是什么。
（学生：）你好。那是不是要求表面引力为正，即大于零？
（学生：）是常数。
（学生：）是常数。是的。抱歉。
是的。所以，它确实与事件视界上的表面引力是常数有关。呃，这不是我们证明过的事情，为了让它是常数，视界是一个基林（Killing）视界这一点非常重要，在70年代，人们证明了稳态黑洞的视界就是这种基林类型的。所以它们垂直于一个基林矢量。我应该说，我没有时间去讲所有的推导技术细节，因为那会是一个非常长的课程，但我强烈建议你们去看一些随处可见的综述，并查看这些推导过程。所以，比如对于这个，我可以推荐大约97年的Townsend综述，但你也可以看Wald的书，例如，他可以告诉你所有的参考文献在哪里等等。
好的，非常好。所以，第零定律是，在一个稳态黑洞的视界上，表面引力是常数。这当然看起来像热力学的第零定律，即在平衡状态下，温度是恒定的。
第一定律，有其他人能告诉我第一定律是关于什么的吗？
（学生：）呃，它给出了由于质量变化和角动量变化或守恒荷的变化所引起的面积变化。
守恒荷的变化。
完全正确。它将视界面积的变化与这个表面引力因子精确地联系起来，等于质量的变化减去 $\Omega \Delta J$ 加上任何其他你可能有的项，如果你有一个带电黑洞的话。
这基本上是，所以这个定律，正如我试图展示的，是使用爱因斯坦方程推导出来的。所以，特别是在我最后试图介绍的物理过程推导中，你可以非常明确地看到，你把面积写成这个……你知道的，膨胀的变化，你使用里乔杜里（Raychaudhuri）方程，在里乔杜里方程中，你用爱因斯坦方程把里奇张量换成应力张量，然后你就精确地得到了这个结果，好的，它告诉你视界几何如何响应质量和角动量的通过而调整。
对于感兴趣的人，呃，我不会深入讲这个，但Jacobson有一些非常好的工作。我忘了是什么时候，我想大概是90年代中期。好的，我真的不记得具体时间了。关于第一定律的逆定理，试图证明如果第一定律像你在一个热力学系统中预期的那样被满足，那么爱因斯坦方程应该被看作是一个状态方程。呃，好的，如果有人感兴趣，我可以找一下这个……好的，最后是第二定律。
那么，有人能告诉我第二定律说的是什么吗？
（学生：）呃，它是关于给黑洞赋予一个特定的熵，然后说广义熵总是大于等于零。
（学生：）熵的变化。
呃，好的，非常好。所以你想说，是的，所以首先是给黑洞赋予熵。黑洞力学的第二定律仅仅是在经典过程中 $\Delta A \ge 0$。然后如果你想谈论熵，谈论贝肯斯坦（Bekenstein）引入的这个广义熵，也就是面积加上一个合适的系数，再加上物质的熵，这个量在任何过程中都应该是增加的。
我应该说，这个面积增加只是一个经典的事实，在量子力学上它是被违背的。所以，例如，好的，所以我介绍了这个，然后，你知道，这些定律一开始看起来就像是类比，但后来霍金（Hawking）发现黑洞实际上以一个温度 $\kappa \hbar / 2\pi$ 发出黑体辐射，对吧，这就是霍金温度，然后黑洞可以蒸发，在蒸发过程中，黑洞的面积显然会缩小。
这怎么可能呢？有什么想法吗？
（学生：）是不是因为它以黑体辐射的形式失去了它的质量？
是的。所以，基本上是的，我们在上一堂课展示过，视界的面积总是在增加，为了证明这一点，记得我们用了里乔杜里方程，这只是一个几何事实，还有物质的零能量条件，还记得吗？对吧，所以在里乔杜里方程中，我们把 $R_{\mu\nu} k^\mu k^\nu$ 替换成 $T_{\mu\nu} k^\mu k^\nu$，然后我们用零能量条件来说明那一项是正的。大家还记得这个吗？是的。好的。非常好。我应该看看聊天区。好的。
所以，基本上是那个条件在量子力学上被违背了。所以，零能量条件，它是一个在经典场论中假设成立是合理的条件。但是量子力学上它是被违背的，这就是霍金蒸发过程实际上可以减少事件视界面积的方式。另一方面，贝肯斯坦引入的广义熵，也就是外部物质的熵加上视界的面积，然后你可以修正常数。这个量实际上是增加的，因为即使这一项在蒸发过程中减少，外部的辐射包含了所有正在被发射的霍金量子，实际上这比损失的熵要多。好的。
所以，即使在量子的霍金蒸发过程中，广义熵也不会减少，呃……好的，所以，我们最后的结论是，黑洞的物理温度由这个霍金温度给出，它物理上发射热粒子等等，这意味着这个量（面积）应该真的被看作是黑洞的物理熵，应该被赋予给黑洞，它被称为贝肯斯坦-霍金熵。
好的。在我继续之前，让我问一下关于黑洞热力学的问题有没有。
（学生：）呃，是的。那么，关于第零定律，这里什么扮演了热力学平衡的角色？它作为一个基林视界是如何融入到整个平衡概念中的？
（讲者：）对的。是的。
所以人们问的是，最终的平衡状态是什么？在平衡状态下，你不再是时间依赖的，对吧？所以，这就是为什么他们在寻找静态或稳态的解，因为一旦你处于平衡状态，你就不会再动了。然后，正如我试图解释历史时说的，他们非常震惊地发现，唯一的静态解必须是球对称的，必须是史瓦西黑洞，而唯一的稳态解必须是轴对称的，并且必须是克尔（Kerr）黑洞。但平衡基本上就是稳态性。我之所以不回顾这些定理，是因为它们在技术上非常复杂。这是数学物理。所以我不想进入深入的技术细节，我也不知道，但例如，如果你看Wald关于黑洞热力学的综述，它在《广义相对论动态评论》（Living Reviews in Relativity）里，你可以找到所有已证明内容的精确陈述。
（学生：）是的。不，谢谢你。那很奇怪。谢谢你。
（讲者：）但是，但是，是的，所以平衡基本上是黑洞的稳态性，这意味着它有一个基林视界。一旦你有一个基林视界，那么你知道，你用你最喜欢的 $\kappa$ 的公式，用 $\xi \cdot \nabla \xi$ 等等的平方来表示。然后你开始证明，利用它垂直于一个基林矢量的事实，那个东西实际上是常数。这基本上就是证明过程。
还有其他问题吗？
（学生：）呃，在同样的话题上，它如何对应于热力学中的第三定律？根据黑洞力学的第三定律，它说不可能通过有限步达到 $\kappa = 0$。那么，我们这里谈论的是什么样的对应步骤呢？
（讲者：）是的，人们已经对这个定律讨论了很多。我，嗯，怎么说呢，我觉得它不是很物理。是的。
所以你可以问，温度 $T=0$ 的黑洞是所谓的极值黑洞。所以你可以有一个极值克尔黑洞，为了在克尔度规中没有裸奇点，你需要像 $G M^2 > J$ 这样的条件。极值极限是当这是一个等式时，呃……呃，好的，那个黑洞如果你天真地计算它的温度，它的温度恰好是零。你可以构造一个莱斯纳-诺斯特朗姆（Reissner-Nordström）黑洞，那是带电黑洞，或者一个克尔-纽曼（Kerr-Newman）黑洞，它既有电荷又有角动量，然后你知道，你对质量有类似的下限，用电荷或电荷和角动量表示，而那些天真地看都有零霍金温度。所以人们试图证明，你永远不能在有限的步骤内达到精确的极值状态，有一些旧文献里的论文，我想是Wald写的，我的意思是，我可以给你参考文献如果你想要的话。
最近有一些数学家试图通过从坍缩情况中创造一个精确的极值莱斯纳-诺斯特朗姆黑洞来反驳第三定律。我说过，在一般的初始条件下，引力坍缩会导致黑洞的形成。所以，坍缩导致奇点。问题是奇点是在视界后面还是不在。而宇宙监督假说（cosmic censorship）说，在一般的初始条件下，它会被一个视界隐藏起来。然而，如果你微调你的初始条件，你实际上可以得到一个裸奇点。我想这就是一些数学家去年在玩的东西。他们试图在有限时间内从坍缩中制造出一个精确的极值莱斯纳-诺斯特朗姆黑洞，这似乎违反了第三定律。我没有完全跟进发生了什么。但后来我想Harvey Reall写了些论文说，我不知道，那个设置在物理上没有很好的动机，他们有一些场在……我不知道是什么。所以这不是一个很好的设置。所以我不清楚，我没有跟进，但对我来说也不清楚那是否是一个合适的反例。
但我之所以不觉得这个关于极值黑洞的讨论在物理上非常有意义，是因为在过去五年左右，有一些非常漂亮的工作，由像伯克利的人或者……他们表明，实际上当你观察非常接近极值的黑洞，包括完全极值状态时，你对几何有非常大的量子修正。所以经典引力近似是无效的。所以讨论你如何能达到精确的极值状态似乎没有物理意义，也许除了超对称黑洞。但对于非超对称的，它似乎没有意义，所以对我来说，这个第三定律的状态应该是什么并不清楚，但我没有完全跟进这个讨论。
（学生：）我明白了，这解释清楚了，谢谢你。
（学生：）是的，为什么超对称就有意义呢？
（学生：）对不起，你能解释一下为什么超对称就有意义吗？
是的。所以，这个非常漂亮……我想Luka Iliesiu在2022年的弦论大会（Strings 2022）上做了一个关于这个的报告，那是一个非常漂亮的报告，但我相信你可以在网上找到更多报告，或者你可以邀请他，或者Daniel可以邀请他在这个学校做讲座。我认为他也是一个很棒的讲师，或者也许是Gustavo，他是阿根廷人。嗯，所以基本上发生的是，你有这些非常大的量子修正，在非超对称的情况下，它们基本上把效应洗掉了。所以通常你认为，例如这个极值克尔黑洞在绝对零温度下有一个与 $J$ 成比例的有限熵。然而，他们表明那是错误的，实际上在非常非常低的温度下，由于量子修正，态密度确实趋向于零，温度低于我想象的像是 $1/J^{3/2}$ 这样的值。好的。
在超对称黑洞的情况下，发生的是你有一些额外的……所以这个熵趋于零是因为一些零模，而零模的计数对于超对称黑洞是不同的，并且有一些抵消，所以实际上你仍然可以在极值状态下有一个非平凡的有限熵。所以他们说的是，对于非极值黑洞，如果你看态密度，呃，作为能量的函数。所以，这是天真的曲线，它会是这样，这是从经典引力得到的天真结果。他们说的是，对于非超对称的，它会像这样，而对于超对称的，呃，它有点像这样。有一个能隙，然后在极值点有很大的态密度。但是，但这比我的课程要高级得多，但如果你感兴趣，这真的是一个非常漂亮的话题，你应该去看报告或者读讲义，非常棒。但基本上这就是我不想谈论第三定律的原因，因为我认为极值黑洞应该小心处理，不能只做天真的经典广义相对论。
还有其他问题吗？
（学生：）呃，最后一个小问题。Monica，我的意思是，当你谈到第二个定律，并且在量子领域中，零能量条件被违反时，你是在说这个事实使得你可以在黑洞熵的公式中引入 $\hbar$ 吗？不，它不是从那里来的，对吧？
（讲者：）不不不，所以 $\hbar$，好的。
对不起。是的。所以，这是经典的类比，对吧？这是你仅用经典黑洞力学就能证明的。这是霍金和他的同伴们在74年做的事，而霍金辐射我想是在76年。所以，基本上霍金在76年证明的是，这个效应对于在闵可夫斯基空间中的加速观察者是存在的，你甚至不需要一个复杂的黑洞来展示它。所以基本上发生的是，如果你有不同的观察者，他们有不同的时间，那么对于这些观察者来说，粒子的概念可能会不同。所以例如，如果你只有空的闵可夫斯基空间。所以闵可夫斯基空间的真空，对于一个标准的惯性闵可夫斯基观察者来说，看起来是空的。闵可夫斯基真空。如果你考虑一个在闵可夫斯基空间中的加速观察者，他只看到时空的一半，因为它进来然后必须出去，因为它在加速。那是一个所谓的伦德勒（Rindler）观察者。那个人会把闵可夫斯基真空看作是热填充的。
正是这个效应，被称为盎鲁（Unruh）效应，正在黑洞情景中发生，其中惯性观察者，即惯性闵可夫斯基观察者，的角色由自由落体穿过黑洞视界的观察者扮演，他什么也看不到。他没有注意到那里有视界或任何东西。而加速观察者的角色由那些沿着史瓦西杀矢时间 $\partial_t$ 轨道运动的观察者扮演，这些是加速观察者，因为他们停留在视界外面，所以他们必须加速，基本上是因为这些加速观察者看到了这个正在落入的真空，这类似于闵可夫斯基真空，是热填充的。你可以计算这个温度。你所做的只是量子场论。好的。在闵可夫斯基的情况下，它甚至不是在弯曲时空中。在黑洞的情况下，好的，你必须做弯曲时空，这是一个量子效应。这就是 $\hbar$ 的来源。$\hbar$ 来自于你正在做这个微扰量子场论计算，你发现温度与 $\hbar$ 成正比。现在如果你试图把这一项分成 $\kappa \hbar / 2\pi$ 乘以剩下的部分，你会看到你会得到 $1 / 4\pi G\hbar$。现在你想把这一项放到面积里，去说那是熵，因为你想得到第一定律。这就是它的来源。
（学生：）我明白了。好的。好的。所以最终是因为……
（讲者：）所以如果你想知道更多，你应该在一些教科书中查找盎鲁效应，盎鲁效应会向你解释这个 $\hbar$ 因子。
（学生：）明白了。谢谢。
（讲者：）是的。所以这真的很重要。这是一个完全的量子效应。这个黑洞发射热辐射。这就是为什么这些人一开始感到困惑。经典上黑洞不发射任何东西，但这很重要，它是一个量子效应，然后它就开始了。好的。
呃，也许我应该开始今天的讲座了，它本来应该很长。嗯，所以，好的，非常好。
所以我想说什么呢？今天我要讲全息术（holography），正如我在第一堂课上说的，它是由黑洞热力学所激发的。好的，基本上是由这个贝肯斯坦-霍金熵的公式，正如你所见，这个公式目前没有任何统计学解释。它没有在计数任何东西，它只是给一个仅由一两个数字，比如质量和角动量，来表征的黑洞赋予了一个数字。它赋予的这个数字，正如我们上次讨论的，是一个非常巨大的数字。它相当于视界上每个普朗克尺寸的面积有一个自由度。这是一个巨大的数字，但你从时空的角度没有任何统计学解释。
嗯，那个统计学解释实际上是在很久以后才出现的。它出现在90年代中期，由Strominger和Vafa的工作……我们稍后会多讨论一点，但现在还没有这样的东西。然而，人们仍然可以假设这个数字确实有某种有意义的微观解释，作为黑洞理论的某种自由度的数量，然后看看会得到什么。
所以，我要做出一系列重大的陈述，最终会得出一个惊人的结论。呃，所以这个黑洞熵 $S_{BH}$ 就像是视界面积除以普朗克长度的平方，你可以从这里看到。因为熵与面积成正比，看起来构成黑洞的自由度，不管它们是什么，它们都生活在黑洞的表面上。这只是一个标度关系。
嗯，正如我们讨论的，对于一个大黑洞来说，这个数字是一个巨大的数字。然而，因为熵只与面积成正比，而不是体积，人们可能会想象，很容易想出一些物质构型，比如标准物质，其熵与体积成正比，并且让那个东西在一个给定大小的区域内比黑洞熵有更多的熵。好的。
而第一个陈述是，实际上那是不可能的。所以如果我给你某个区域，某个时空的有限区域 $R$，我把它看作是球形的，大小为 $R$。所以我不做精确计算，那么黑洞，认真对待它的熵的话，是可以容纳在内的最熵的对象。而具有体积熵的物质不能比只有与表面积成正比的熵的黑洞有更多熵的原因是，熵不仅仅取决于大小。它还取决于能量。为了让物质比黑洞有更多的熵，你必须给它如此多的能量，以至于它会，你知道的，增长到超出它的史瓦西半径，然后坍缩成一个黑洞。所以正是因为引力坍缩，这个陈述才是真的。所以让我做一个小计算。
呃，让我们把物质模型化为某个有限温度的气体。所以我把物质看作是某个有限温度 $T$ 的气体，然后在高温下，问题中没有其他尺度。所以我可以做一些量纲估计。我估计气体的能量，它将与体积成正比，因为这是一个局域的东西，通过量纲分析，我会在这里得到一个 $T^4$。温度有能量或质量的量纲，所以这是 $T^4 R^3$，而气体的熵，它是无量纲的，它会是 $V \cdot T^3$，所以这是 $E/R$。好的。
呃，现在我想要气体的熵大于适合整个区域的黑洞的熵。也就是说，和我的整个半径为 $R$ 的区域一样大的黑洞。
问题：这个黑洞的熵是多少？有人能告诉我吗？
（学生：）嗯，是 $4 \\pi R^2 / 4 G\\hbar$。
（讲者：）好的，非常好。谢谢你。非常精确。
我会把 $\pi$ 设为1，4设为1，$\hbar$ 设为1。所以它就只是 $R^2 / G$。好的。
呃，到目前为止还不错。但是，好的，正如我说的，为了能够谈论气体，我应该确保，我有一些气体在某个有限的半径内，我应该确保这个气体不会发生引力坍缩。气体不发生引力坍缩的条件是，大小 $R$ 必须大于与这个能量相关的气体的史瓦西半径，那是多少？
（学生：）$2GM$。
（讲者：）我会把2设为1。所以它只是 $G \times E$。好的。呃，好的。
所以，这意味着 $G \cdot T^4 R^3 < R$，这意味着 $G \cdot T^4 R^2 < 1$，这意味着 $T < 1 / (R^2 G)^{1/4}$。反过来，现在如果我计算气体的熵，它将小于 $V T^3 = R^3 T^3$。所以我把这里的 $R$ 放到里面变成 $R^4$，所以这会是 $R^2 / G^{3/4}$，好的，我只是代入了这一个。好的，这只是区域的面积除以 $G^{3/4}$。所以你看到这比半径为 $R$ 的黑洞熵要小得多得多，因为我假设 $R$ 远大于普朗克长度。
好的，所以这个计算向你展示了，仅仅是普通物质，由于它有可能发生引力坍缩成黑洞，正如我们展示的，它永远不会比一个实际上填满整个区域的黑洞有更多的熵。好的。
鉴于此，呃，'t Hooft在93年提出了一个非常大胆的提议。他基本上说，那么，这基本上意味着，在我的区域 $R$ 内量子引力的自由度。好的。我的意思是，如果这是真的，那么这个小练习的结论是，无论我在这里放什么标准物质，或者我在这里放什么黑洞，它都将比填满该区域的黑洞有更少的自由度。填满该区域的黑洞，我可以认为它的自由度生活在该区域的表面上。因此，他基本上是说，任何可能发生在这个区域内部的事情，你知道，小人们生活在太阳下，看着黑洞什么的，都可以由完全生活在该区域 $R$ 边界上的自由度来描述。好的。
所以这个概念，就是说你可以用生活在边界上的自由度来编码这个体区域内发生的一切，被称为全息术。这是一个关于量子引力行为的真正激进的提议。它基本上是说，如果我们看量子引力的真正自由度，你知道，我们可能会认为我们世界中的量子引力将生活在3+1维中，但实际上这个提议是说，不，实际上它将生活在2+1维或者……你的引力理论中没有足够的自由度来构成一个在该维度数量下的局域理论，而只够构成一个更低维度数量的理论。好的。所以，由于这个原因，'t Hooft的论文被称为《量子引力中的维度约化》。它说，从根本上说，完整的量子引力理论的维度比其经典极限所显示的要低。这清楚吗？
（学生：）你能再重复一遍这个陈述吗？
（讲者：）是的。
所以这个陈述实际上，整个事情都很模糊。你理解关于填满该区域的黑洞比我可能放在该区域内的任何其他东西都有更多熵的故事吗？任何一种普通物质。那个论证清楚吗？
（学生：）是的。
（讲者：）好的。
所以，从那里，因为它说黑洞，你知道，我可以认为它的自由度分布在表面上，因为它有与面积成比例的熵。所以我可以认为在表面的每个普朗克尺寸面积上有一个自由度。这是填满该区域的黑洞。而且由于黑洞比任何其他东西都有更多的熵，这意味着任何其他东西也可以由生活在边界上的相同自由度来描述。它基本上是说，如果我有一个，例如，在体内的适当的局域理论，那么它的自由度数量真的会像体积一样缩放。然而，在一个引力理论中，因为这个坍缩的事情，引力理论的总自由度数量，假设黑洞携带这么多熵，实际上是一个只生活在该区域边界上的局域理论的自由度数量。它实际上是少一个维度的。最大自由度数量不像区域的体积那样缩放。它真的像面积那样缩放，这是一个非常非常激进的行为，因为它意味着无论量子引力理论是什么，它在某种低尺度上都是一个极其非局域的理论。
好的。所以这就是其含义。而且这个提议，是的，确实，因为它非常激进，因为如果你真的把你的……所以全息术通常的陈述方式是，某个区域 $R$ 或某个时空中的量子引力理论可以被重写为一个生活在该时空边界上的非引力理论。我不百分之百清楚这是否普遍为真。但在已知的全息术例子中，它是真的。你可以把一个更高维度的引力理论重写为一个更低维度的非引力理论。
而且，非常激进的是，如果你的基本理论真的是这个边界上的理论，它计算了你的理论的正确自由度数量，这意味着这个径向方向是某种程度上涌现出来的，是某种虚幻的方向，它也意味着在这个方向上的局域性，我提醒一下我们生活在一个有引力的理论中，所以这个论证原则上也适用于我们，我们看到的引力理论中量子场的局域性充其量只能是近似的。从根本上说，它在理论中不存在，因为理论从根本上说不是体内的局域理论，而最多只能是这个边界上的局域理论。
所以，这里的一切都非常激进，而且这个全息的东西也与我在上节课末尾简要提到的黑洞信息佯谬密切相关。嗯，那被认为是引力、视界的光滑性等等与广义相对论，比如说，和量子力学在黑洞蒸发过程中的冲突。但是，你知道，所有那些论证都以一种隐藏的方式使用了黑洞时空中的局域性，但正如我们在全息术中看到的，它被认为是一个普遍的东西，局域性被严重违反。所以这可能与信息佯谬的解决有很大关系，这方面已经有进展，但还不足以……
好的。所以，这基本上是't Hooft关于引力是全息的论证。正如你所见，这是一个非常非常普遍的论证，因为它只使用了黑洞、引力坍缩，这些引力非常基本的属性。同时，你看到这是一个极其模糊的陈述，它没有告诉你这个理论是什么，它如何运作，你如何检查，它什么也没告诉你，但它确实有这种很好的普适性味道。
所以在接下来的讲座中，我想通过给你们一个精确的例子来开始做一些真正的全息术。所以，人们现在如此多地研究全息术的原因是，在这个提议几年后，出现了一个具体的全息对应，由马尔达西那（Maldacena）提出，即所谓的AdS/CFT对应，在那里你可以非常具体地在特定情况下检查这是正在发生的。好的。所以，现在我要转向AdS/CFT。关于一般性论证有什么问题吗？但一般性论证表明，这个全息术应该在一般时空中都适用，尽管它没有告诉我们如何适用，为什么适用，但它真的应该超越这个范围。
（从聊天区读问题）为什么在黑洞的情况下，热力学熵取决于黑洞的面积而不是体积？这是我们上次推导的。正如我说的，这是贝肯斯坦为了挽救热力学第二定律而提出的一个提议，如果你拿一个熵性的物体，然后把它放进一个黑洞里，那么关于这个物体的所有信息，它的熵，突然就消失了，这看起来会严重违反第二定律。所以他试图挽救它，然后他提出了这个熵的提议，因为它听起来像是一个自然的事情，实际上是在增加的，而且我想还有……记得我提到的彭罗斯过程，你拿一个克尔黑洞，有一个过程你可以从中提取能量，呃……黑洞的事件视界面积却增加了。所以这是因为它听起来像是……像是那种自然的提议，因为事件视界的面积是出现在所有这些面积定理中的量，人们可以很容易地证明它是在增加的，并且人们可以检验这个提议。
这是黑洞特有的吗，还是一般适用于任何引力系统？呃，对不起，是说熵与面积成正比这个事实吗？呃，这对黑洞非常特殊，像一个正常的物质系统，由某种局域气体、局域量子场描述。好的，当然我们都应该做……如果我们忘记引力，我们都应该做量子场论，量子场论只是某种局域理论。每个时空点有一个自由度等等。呃，所以是的，黑洞熵与面积成正比而不是体积，这与正常物质的行为极其不同，这正是整个讨论的要点。所以你指出来这一点非常好。
这是否意味着量子场生活在边界上？呃，这取决于你想多普遍。我试图在't Hooft论证的全部模糊性范围内呈现它。这是一个非常模糊的论证。好的？它只是说你有足够的自由度，而那些自由度就好像你把它们想象在区域的边界上。这并不意味着它们生活在区域的边界上。这只是意味着它们的数量和你通过在每个普朗克尺寸的面积上放一个自由度所得到的数量一样多。但它没有告诉你它们住在哪里。它也没有告诉你一般情况下你会得到一个量子场。
所以，实际上如果……考虑到进度，我不确定我是否能讲到我那些花哨的$T\bar{T}$……呃，你知道的，推测。但在$T\bar{T}$的推测中，发生的是你有一个全息术的例子，那里的时空不是AdS，是别的东西，边界上的理论是一个非引力理论，所以这符合全息术的精神，然而它不是一个量子场论，它是一个没有引力的弦理论，所以通常弦理论有引力，但那个弦理论，被称为小弦理论（little string theory），是与引力解耦的，它是一种非常特殊的东西，所以它不是一个量子场理论，它是一个生活在……的弦理论。所以它不一定是一个量子场。对我来说，一般情况下你是否能做这种完全的重写甚至都不清楚。但那些论证是存在的。
伙计们，你们介意直接现场提问吗？这对我来说容易得多。
（从聊天区读问题）在黑洞的情况下，热力学熵是否会变成纠缠熵？这是一个非常好的问题。所以，我写了这个广义熵的公式，它是$S_{out} + A_{hor} / 4G\\hbar$。所以这是第二次了，对吧。好的。所以这是广义熵，你可能会想，黑洞外面的这个物质熵到底是什么。所以一些人实际上，我想在开始的时候他们甚至试图那样解释黑洞熵，他们试图说，你可以把物质熵看作是物质场跨越黑洞视界的纠缠熵。我说这个陈述是给那些知道纠缠熵的人听的，我假设提问的人知道什么是纠缠熵。所以你可以把这个家伙看作是黑洞视界外的量子场的纠缠熵。这样可以吗？
然后你可能会让自己陷入一个困境，因为你知道，为了……那个纠缠熵是发散的。所以，为了计算它，如果这是视界，你基本上必须放一种砖墙，你必须在视界旁边放一个截断，这个纠缠熵随着那个截断而发散。好的，所以这部分是发散的。事实证明，那些发散实际上可以被吸收到牛顿常数的一些重整化中，所以有Susskind和合作者的一些工作，我想这些年来已经变得精确了。所以最终发生的是，这些东西没有一个被特别好地定义。但是如果你取它们的和，这种模糊性在两者之间某种程度上抵消了，总和应该是，是的。所以确实，这部分应该被看作是纠缠熵。有一些提议，或者……我不知道，我想它可能是真的，但是，好的。文献中有一些想法，认为这一项可以被看作是当你把你的时空跨越视界分割时与边缘模（edge modes）相关的某种纠缠，如果你知道那是什么的话。但是这非常高级，我想。
好的。如果没有更多问题，让我继续讲AdS/CFT。
好的。所以人们真正喜欢这个AdS/CFT对应的原因是它是一个精确的，对这个全息原理，对这个全息对应的一个非常精确的实现，并且它是被推导出来的，它实际上是被推导出来的。所以't Hooft的这个疯狂想法实际上，你知道，在弦理论内部得到了很多证实，被推导出来。
好的。所以，为了正确理解我接下来要讲的内容，在接下来的讲座中，我想你真的需要上一门弦理论的课程，并好好理解这些东西。它在那里得到了很好的实现。但是，好的，我只会尝试说一些模糊的东西，希望它们对你有意义。
好的。那么，有人知道弦理论是什么吗？
（学生：）是的。
（学生：）是的。它基本上就像……
（讲者：）你能说它是什么吗？也许那会更清楚。
（学生：）哦，基本对象不再是粒子了。它们是被称为弦的延展对象。
好的。所以现在你得到了弦理论的定义了。非常好。确实如此。所以基本对象是这些弦，并且有一些……所以如果你看它们，这些是一些在某个环境时空中传播的弦，这个时空通常被称为靶空间（target space），在超弦理论中，为了让它有意义，靶空间必须是10维的，从靶空间的角度看，弦的振动看起来像一个无限的粒子塔，它们的质量不断增加，单位是所谓的 $1/\alpha'$。所以 $\alpha'$ 的单位是长度的平方，有时被称为弦长度的平方。好的。
然后有一些数字……好的，非常好。所以如果你处于能量远低于这个弦尺度的情况下。所以通常我们把弦尺度取得非常小。你只能看到无质量态，正如我说的，你有引力子，一个叫做胀子（dilaton）的标量等等。弦理论也有一个耦合常数，叫做 $g_s$。它实际上是某个标量的期望值，它衡量了弦相互作用的强度。好的。所以基本上，如果你想让弦微扰理论有意义，你需要这个 $g_s$ 很小，如果 $g_s$ 不小，那么你对理论就没有控制，因为人们不知道一个非微扰的定义……好的，所以弦理论比比如说经典引力要好，因为你对这整个粒子塔有一个描述。所以你可以做得更多，你可以在能量尺度达到 $1/\sqrt{\alpha'}$ 的时候仍然能说些什么，而且理论有很多好的性质，你知道，解决了紫外发散等等。然而，你没有一个理论的非微扰定义。
非常好。还有什么？弦理论还有另一个东西，它实际上看起来只在这个弱耦合极限下是一个弦的理论，但它实际上也包含非微扰的对象，比如各种膜，D膜，NS5膜，然后，好的，你也可以进入M理论，这些家伙是非微扰的，因为它们的张力像 $1/g_s^2 \alpha'$，或者任何你需要的量纲数。所以你看到它们在弱耦合时非常非常重，但当然如果你想……
好的，所以现在你知道的足够我来为你们推导弦理论了。
所以这个AdS对应的推导，正如我在引言中稍微暗示的……呃……在我看来，我想我……（掌声）好的，我想我做了些什么。这不是一个非常成功的……现在你看不到它，因为我必须把它移到一边。
所以AdS/CFT对应的推导，人们在弦理论中做的是，你基本上从看一堆……所以AdS/CFT最著名的例子是从所谓的D3膜得到的。所以你在考虑三维的膜，它们是弦理论中的一些对象。所以你取N个这样的膜，它们是D3膜。所以这些是嵌入在10维时空中的三维膜。好的。这些膜上有一些规范场生活在上面。实际上在低能量下，生活在这些D3膜上的理论只是一个规范理论。它是$SU(N)$超杨-米尔斯理论。对，所以这是电磁学的一个非阿贝尔推广。它被称为$N=4$，这与它是一个超对称理论的事实有关。好的，一些重要的细节，但你不需要知道。
好的，所以它只是一个在四维空间中的规范理论，但当然这只是在低能量下，描述D3膜的完整理论是……加上更高阶的项，涉及到所有这些场强，涉及到导数耦合和与体的耦合。所以在体（bulk）中你可能有引力子，你可能有生活在弦理论中的所有其他乱七八糟的东西，它们原则上都在那里。然而，当你到非常低的能量时，所有这些与体的其他耦合和对这个$N=4$理论的更高导数修正都消失了，你只剩下这个理论，这是一个非常漂亮的理论，而且它是一个共形场论（CFT），这很有趣。
好的，所以这是对应的一方面。呃，好的，所以我们从这个D3膜开始，这里的低能量在实际得到这些理论方面非常重要，否则它会是一个非常非常复杂的东西，并且与10维的体耦合。所以现在推导对应的要点是，这些被称为D膜的对象，这种用杨-米尔斯理论的描述是在所谓的弱耦合下的描述。好的。所以当，呃，当弦耦合非常小时，实际上在 $N$ 个D3膜的情况下，相关的耦合是所谓的't Hooft耦合，也就是 $g_{YM}^2 \times N$。好的，这个 $N$ 来自于 $SU(N)$，实际上这是为……定义的't Hooft耦合。好的，这等于 $g_s \times N$。好的，所以这个描述在$\lambda$很弱时是有效的。
事实证明，当你去到强耦合时，同样的对象被相信，或者说这是一个被很好地建立的猜想，有一个非常不同的描述，用几何来描述。所以基本上你可以把这些D3膜看作是对度规有反作用，并且创造了一种10维超引力的黑膜解。好的。这个解由一个非常简单的度规描述：
好的。所以发生的是，你有一个在10维空间中的三维物体，如果你愿意，可以说是在9+1维中。所以这就像在六个空间维度加时间中有一个点状物体。好的。正确。所以一个在六个空间维度中的点状物体被一个五维球面环绕，这就是为什么这个五维球面度规出现在这里。
好的。另外我只是说，我取一个度规，它是相同的。所以我保持了沿着膜方向的洛伦兹不变性，因为这是沿着膜的四个方向，而这只是横向的。好的，所以这只是解。你让这个现在变重的物体反作用，它是我提到的那些重膜之一，然后你得到这个度规，其中$H(r)$，你知道，如果你知道弦理论等等，它是由理论的常数给出的，它由这样的东西给出：
好的。所以基本上当你取这个非常低的能量极限时发生的是。所以你有了这个系统，它有两种不同的描述。好的。我应该说，我提到这个描述在弱耦合时是好的。这个描述，如果你看它，实际上在强耦合时是有效的，你可以看到，因为，嗯，我们应该怎么做呢？你可以看小距离。所以你看到当 $r$ 变小时，你可以丢掉这里的1，这个家伙就给你，嗯，变成了 $\sqrt{g_s N \alpha'} / r^2$，和这个 $r^2$ 消掉了。所以基本上你可以看到你得到的球面的半径的平方将是 $\sqrt{g_s N \alpha'}$，其中我说过 $\alpha'$ 是弦长度的平方。呃，所以基本上如果你想让你的引力近似有效，也就是说不看到小的振动弦，而只看到无质量的模，你基本上想要你得到的这个球面的大小远大于弦的大小。好的。所以你基本上想要……所以你看到球面的大小与弦的大小成正比，带着这个因子。所以你基本上想要这个因子远大于1。但你看到这个因子就是 $\lambda$。好的。所以这两个描述确实在这个't Hooft耦合 $\lambda$ 的相反极限中。它们的有效性区域没有重叠。
另一件你可以要求或者在这里检查的事情是，为了让引力解可靠，你还想要解的特征尺寸，我们取这个S5的半径，远大于普朗克长度。好的，这基本上是告诉你你可以忽略量子引力的修正，这绝对是你想要做的，因为你对量子引力一无所知。而如果你看普朗克长度 $L_p$，事实证明 $L_p^2 \propto g_s^{1/2} L_s^2$。
呃，对不起，你看到了吗？这样好点吗？
（学生：）是的，现在……
（讲者：）呃，好的。
所以基本上通过要求你的几何的特征尺寸，比如说S5的尺寸，远大于 $L_p$。这告诉我什么？
（学生：）$L_s$ 必须变小。
（学生：）对不起，你能重复一下吗？
（学生：）弦长度必须小。所以如果 $g_s$ 远大于……
（讲者：）等等。
所以我想让这个家伙远小于S5的尺寸，也就是 $\sqrt{g_s N} \cdot L_s^2$。所以我从这里推导出什么？
（学生：）我想是 $g_s N$ 的乘积远大于 $g_s$。
（学生：）$N$ 必须大。
完全正确。所以你看到大部分这些东西都消掉了，我得到的是 $N$ 必须远大于1才能忽略量子引力修正。好的。简单的代数。所以这非常重要，因为量子引力是你即使在弦理论中也无法控制的东西。所以你想处于一个你知道的，你的解的特征尺度不需要你引入量子引力修正的区域，而这个要求是曲率，是的，这个 $L_{S5}$ 大致衡量了解的曲率，必须远大于普朗克长度的平方，为此我给了你公式，你推断出你必须有非常非常大量的膜，你必须有一个非常大的结构，这很重要，如果你想……
所以基本上，人们在这个所谓的't Hooft极限中看待这个对应关系。好吧，我现在不提't Hooft极限了，但无论如何，为了相信这些图景，你需要取 $N$ 非常大，而 $\lambda$ 固定。嗯，好的，所以基本上论证是这样的：你有这些对象，在弱耦合时它们看起来是这样，在强耦合时它们看起来是那样。现在我取一个低能量极限，在这个低能量极限下，我在这边得到的是，我基本上得到了这个 $SU(N)$ 超杨-米尔斯理论在D3膜上，实际上还有一些自由的引力子在体中漂浮，不与膜相互作用。而在另一边，在非常非常低的能量下，我再次得到了自由的引力子，在渐近平坦的时空部分，我不太关心它们，我可以把它们在两边都消掉，然后我得到了来自……好的，所以，当，是的，所以这些是一些极值膜解。它们有点像极值黑洞。所以，它们有一个非常非常非常长的喉道（throat），在这个喉道下你有一个非常非常大的红移参数。所以基本上，在喉道中有有限能量的东西，因为这个非常大的红移，从外面看会像是接近零能量的。好的。那些东西存活下来了。因为两边是同一个系统，你得出的结论是 $N=4$ 超杨-米尔斯，$SU(N)$，这个理论，和弦理论是相同的。它实际上被称为IIB型弦理论。在任何背景下，它生活在这个喉道的深处，如果你试图看喉道的深处，那是 $r$ 趋于零的区域，所以你可以丢掉这个1因子，然后这里发生的是，正如我已经论证的，你会得到一个这个半径的五维球面，然后你会得到一个看起来像一个常数乘以 $dr^2/r^2$ 的东西。你会得到一个度规。这个度规会是 $-dt^2 + d\vec{x}^2 + dr^2/r^2$… 不，真蠢。这个乘以 $r^2$ 加上 $dr^2/r^2$，类似这样的东西。我希望你从这些项加上度规中的这一项，并对调和函数取极限，就能看到。这个几何被称为 $AdS_5$。好的。所以你得出的结论是，这个$N=4$超杨-米尔斯理论，一个四维理论，一个规范理论，有点像量子色动力学，和IIB型弦理论是完全相同的，IIB型弦理论是一个生活在10维的引力理论，在这个 $AdS_5 \times S^5$ 背景上。
好的，你知道的，当然你必须正确地做这个，所以如果你想学这个，有那个我确定你知道的综述，由MAGOO写的，所以Aharony, Gubser, Ooguri, Maldacena，那篇综述很好地解释了这个。你也可以看Maldacena的原始论文，但我认为在综述里解释得更好。但这就是基本的论证。
所以，请注意，这个结论真的非常惊人，因为它告诉你，那两个生活在不同维度数量并且看起来极其不同的理论。一个是规范理论，一个是引力理论，一个在4维，一个在10维，它告诉你它们实际上是同一个东西。所以，这是一个非常非常非平凡的陈述。
怎么可能有一个这样非平凡的陈述呢？这基本上是因为，你知道，你没有得到矛盾的原因是，正如我讨论的，杨-米尔斯描述的有效性区域，在那里你理解它，在那里你可以微扰地理解它，与引力描述有效的区域是完全不相交的，完全相反的。好的，这就是关于……所以我们称之为强弱耦合对偶性。所以你有这两个理论，这两样东西被认为是同一个理论的不同描述，当一个描述是弱耦合时。所以，这里，让我，我应该固定这个 $N$ 参数，膜的数量，让我把它取得很大，只是为了……呃，让事情好一点，和 $\lambda$ 小。所以我取 $N$ 大，和't Hooft耦合小。所以这是规范理论的耦合。所以现在我可以在规范理论中做微扰计算。在引力那边发生的是，正如我们从这里看到的，你看到，正如我们从这里想的，当这个't Hoo...耦合，也就是 $g_s N$ 非常小时，S5的尺寸与弦尺度相当。所以这意味着我没有一个好的经典引力概念。我真的必须在我的背景上研究完整的弦理论。好的。所以这非常困难，非常困难。原则上是可能的，但实践中非常非常困难。好的。然而，在相反的区域，引力描述是弱耦合的。所以在那里，这个弦长非常大，然后发生的是超杨-米尔斯理论处于强耦合区域，基本上不可能计算，图的数量巨大等等。好的，所以这被称为强弱耦合对偶性。
它有一些优点和一些缺点。缺点是，很难证明这个猜想，因为如果你能在这里计算，你就不能在那里计算，反之亦然。所以很难测试东西。通常人们测试那些被认为是与耦合无关的可观测量，比如超对称可观测量。然而，它的一个优点是，这个强弱的特性也使得这个猜想有用，因为你可以用弱耦合的引力描述来做计算，而这些计算你在一个场论的强耦合下甚至做梦都做不到，这确实是这个对应关系被广泛使用的方式之一，很多想法等等。所以人们确实经常用它来获得对量子场论强耦合动力学的洞察。
好的。我到目前为所说的都是在非常大的 $N$ 下，因为我不想处理引力侧的量子修正。嗯，当然，我提到的这个推导只在大 $N$ 极限下有效，因为引力侧只有在那时才有意义。然而，思考一下……所以ACF猜想的强形式是它对任何 $N$ 和 $g_s$ 都有效，在那种情况下，我告诉过你，在有限 $N$ 下，几何曲率与普朗克尺度的比值是有限的，有限 $N$ 意味着你处在有量子引力修正的情况下。所以这是一个你非常想理解的区域，而我们目前甚至没有办法，即使是弦理论也做不到。所以，这个对偶性说的是，你原则上可以用一个规范理论侧，它在有限 $N$ 下完全有意义，来定义你在AdS中量子引力的意思。这是另一个真正有趣的，你知道的，这个对应关系的可能应用，以及为什么人们对它感兴趣。所以，正如我说的，其中之一是你可以用弱耦合的引力来模拟强耦合的场论。这是非常成功的。另一个不那么成功的是做相反的事情，通过有限 $N$ 下的对应关系来理解量子引力。这有点难，但它显然是研究的主要途径之一，去尝试理解。
好的。呃，我们跳过了休息，据我所知。所以，呃，我想在深入细节之前再说几件事。对不起，我讲得非常慢。所以，我们该怎么办？我应该在另外三分钟内结束这种闲聊吗？
（学生：）是的。是的，你可以。你可以结束。
（讲者：）好的。那么，让我结束，然后如果你们想休息，我可以休息。如果你们不想休息，我也……好的。好的。
好的。所以，这个是……也许我应该暂停一下，因为我说了很多非平凡的事情。关于我说的有什么问题吗？
（学生：）所以，这个对应关系是被推导出来的。
（讲者：）对不起，我听不到你。我听不到你。你能说话吗？呃，你好。
（学生：）是的。
（学生：）我听得见吗？
（讲者：）是的。所以AdS/CFT对应关系是从弦理论推导出来的。那么我们类似地有从弦理论推导出来的dS/CFT或flat/CFT吗？
（讲者：）我们类似地有什么？
（学生：）dS/CFT或flat/CFT，爱因斯坦方程的其他解。
（讲者：）不，非常没有。
所以对于德西特（de Sitter）空间，情况比平坦空间更糟，因为平坦空间至少在弦理论中存在。德西特背景在弦理论内部构造起来是出了名的困难，人们，你知道的，花了很多力气，而且它们总是不稳定的，等等。嗯，是的，所以答案是非常没有。人们在那些情况下做的是，他们尝试各种自下而上（bottom-up）的方法。所以，是的，对不起，我也许可以说几件事，你可以尝试在平坦空间的情况下做的是，你可以尝试取AdS/CFT的平坦空间极限。好的。所以，嗯，我给你们展示了一些AdS的尺寸和……的关系。所以你可以……你有这个超杨-米尔斯和IIB型理论之间的对应关系。所以双曲空间AdS5和S5都有一些有限的半径，这取决于't Hooft耦合，正如我展示的，规范理论的。你可以尝试取一个极限，让那个半径趋于无穷大。我想让你注意到的一件事是，如果你试图把AdS5解紧化得到平坦空间，你也会解紧化S5，所以你不会得到五维的平坦空间，你会得到十维的平坦空间，人们试图在CFT中写下那个极限，但那不是一个't Hooft极限，'t Hooft极限是一个很好的极限，'t Hooft极限是 $N$ 趋于无穷大，同时我写的那个 $\lambda = g^2 N$ 固定，这有一个很好的弦状展开。那个极限是别的东西，我想人们不太理解它，所以人们尝试过那样做。然后有很多自下而上的方法来处理平坦空间全息术，但是这些方法做了很多假设，不清楚它们是否合理。
嗯，在平坦空间的情况下，真正缺失的一件事是，我真的试图在这次讨论中强调解耦的重要性。所以你从这些在平坦空间中的膜开始，它们以复杂的方式与十维场耦合，但是当你取这些低能量解耦极限时，它们实际上停止与体对话了，这在推导对应关系中真的真的非常重要，而对于平坦空间，你根本没有那个。所以对我个人来说，这可能只是一个不被社区其他人分享的个人观点，但对我个人来说，不清楚平坦空间是否存在一个解耦极限，能让你写下一个全息对应，用平坦空间中的引力可以被重写为一个没有引力的理论，生活在某个地方。所以对我来说，那不清楚。那是平坦空间。我认为德西特空间非常非常非常令人困惑。人们讨论过是否应该有某种元观察者看到整个时空，你知道的，类时无穷远，或者也许它应该与某个世界线观察者有关，或者有很多提议，我我不认为他们达成了共识，所以，是的，我认为德西特空间比平坦空间离实现更远，当然这使得事情非常有趣，因为我们生活在一个在遥远的未来将变成德西特空间的宇宙学中，而我们真的真的不理解全息原理，我认为这值得深思。
好的，对不起，还有关于……也许更具体地关于我说的是否清楚的问题？
（学生：）不好意思，我还有一个问题，你能听到吗？
（讲者：）你说的对。
好的。我不确定我是否能理解提到超杨-米尔斯理论是一个 $SU(N)$ 的那部分，因为当我学习杨-米尔斯理论时，通常是 $SU(2)$ 来描述电磁理论，例如 $N=1$。正如你说的，描述单个D膜的理论是 $U(1)$，然而当你把这些D膜放在彼此的正上方时，那么规范对称性被增强到 $SU(N)$，这你可以从弦理论的描述中理解。所以如果你打开（Polchinski的教科书）并试图理解，你知道的，开弦是如何描述的。这些D膜基本上是具有狄利克雷-诺伊曼边界条件的开弦。然后你看到，基本上当D膜在彼此的顶上时，你得到额外的无质量态，它们会构成这个整个，你知道的，$N \times N$ 的矩阵……
（学生：）好的，所以那意味着……
（讲者：）是的，对不起。
（学生：）所以也许当 $N$ 远大于1或者很大时，那就意味着存在这些杨-米尔斯场，我们不了解，例如我不知道，因为我只学过例如 $SU(2)$ 或到 $SU(3)$ 的理论，但例如我不知道一个 $SU(100)$ 可能意味着什么。
当然，所以这，是的，当然，这是人们在……我的意思是，你可以考虑具有不同规范群的杨-米尔斯理论，对吧，所以你可以考虑任意 $N$ 而不是做 $SU(2)$ 或 $SU(3)$，而且它的工作方式与 $SU(2)$ 和 $SU(3)$ 非常相似。所以现在，对吧，你有这些矩阵和规范变换，对吧，你必须乘以这些酉矩阵，这与 $SU(2)$ 或 $SU(3)$ 非常相似，你只是用了 $N \times N$ 的矩阵而不是 $2 \times 2$ 或 $3 \times 3$ 的。这完全是标准的。正如't Hooft在我想是70年代展示的，考虑大 $N$ 极限是一件有趣的事情，因为理论简化了很多，它没有简化到可以求解，但它仍然简化了，他谈到了这些平面极限等等，这实际上在这里很相关，但如果我理解正确的话，你的问题是你是否可以轻易地将 $SU(2), SU(3)$ 杨-米尔斯推广到 $SU(N)$，答案是肯定的，它是直接类似的，而且这个理论实际上比那更复杂，因为你还有费米子，你还有一些特定的耦合，你知道的，交换子耦合等等，这是一个非常特殊的理论，你知道的……有最大超对称等等，所以它是一个复杂的理论，但粗略地说，它基本上是一个 $SU(N)$ 理论。
（学生：）好的，谢谢。
（讲者：）而你得到它的原因，你真的需要看（Polchinski的教科书）来理解为什么它出现在D3膜上。它都解释得非常漂亮，不幸的是……
还有其他问题吗，比如有没有人对我说的感到非常困惑？让我问一下有没有紧急问题。那么，太好了。没有人感到非常困惑。嗯，好的。
好的。所以我说了所有这些。好的。所以我想说的另一件事是这个强弱对偶。这真的很重要，否则我不认为任何人会理解一个引力理论怎么可能和一个维度低得多的没有引力的理论是相同的。
我想提到的第二点是所谓的UV/IR对应。那么这个UV/IR是怎么回事呢？然后我将……所以让我为你们写下AdS度规。所以 $ds_{AdS}^2$ 是 $R^2 \\frac{-dt^2 + d\\vec{x}^2 + dr^2}{r^2}$。所以那个度规在 $r \\to 0$ 极限下是……所以这些是沿着膜的方向，加上 $dr^2/r^2$……我吸收了一些常数，嗯，好的，所以我提到过，从量子引力等等的角度来看，你想把AdS中的这个径向方向看作……所以你看到CFT只生活在这三个运动中。CFT某种程度上生活在 $t, x$ 坐标中，而AdS的径向方向以及整个S5被认为是某种程度上从它涌现出来的。你可以问自己，这个径向方向从CFT的角度看是什么意思，传统上这个方向被认同为CFT中的一个能量尺度。
所以，基本上我有了这个AdS喉道，$r \to \infty$ 是靠近边界的地方，$r \to 0$ 是深处。好的，为了看到这个，所以例如如果我想看场论中，CFT中的尺寸，在这些坐标中，正如我说的，CFT只生活在 $t$ 和 $x$ 中。所以它只是由 $|d\vec{x}|$ 给出。但你可以很容易地从这个度规中看到，这是AdS中的固有尺寸，也就是 $R/r \cdot |d\vec{x}|$，因为我是在这个度规中测量的。好的。所以如果我拿同一个物体，我不知道，一支笔，我把它从，你知道的，内部移到边界，当 $r \to 0$ 时，它的尺寸会趋于零。
（注：讲者这里似乎口误了，$r\to\infty$ 对应边界，后来她自己纠正了）
当 $r$ 趋于无穷大时，好的，所以 $r$ 趋于无穷大实际上对应于CFT中距离缩小到零。所以它是紫外（UV）。所以这是时空的红外（IR）。时空中的大距离实际上对应于CFT的紫外，那里的尺寸趋于零。
同样，如果你看能量，所以CFT能量是以这个单位测量的，所以它是相对于这个矢量 $\\partial_t$ 测量的。嗯，正如你所知道的，在时空中，你有固有能量乘以 $\\sqrt{-g_{tt}}$ 是常数。好的。所以你看到，CFT能量基本上等于固有能量，形式上等于当 $r$ 等于 $R$ 时的固有能量，因为那时我只得到……呃，所以我得到 $E_{CFT} = E(r) \\cdot (R/r)$。好的。所以，如果我考虑体中在不同径向距离的同一个物体，当我 $r$ 趋于零时，CFT能量将趋于无穷大。
（注：讲者这里再次口误，应是 $r\to 0$ 对应 UV，高能量）
所以我得出了同样的结论，你可能看不见，AdS中的大距离对应于CFT的紫外。我也可以做相反的陈述，也就是进入AdS的内部，朝 $r \to \infty$（注：应为$r$变大）去，这对应于CFT的红外。好的，所以它在体，AdS体，和CFT边界之间是相反的。这被称为UV/IR联系。它也向你展示了体中的径向方向确实对应于这个意义上的能量尺度。所以我将把这个称为UV，这个称为IR，尽管我理解对于没有生活在AdS中的人来说，这可能……呃，好的，非常好。
所以，如果你们想，我们现在可以休息一下，因为现在……嗯，我将进入更多……稍微更技术性的东西。所以，我们可以休息一下，或者我可以继续，因为我只有半小时了。这取决于你们。
（学生：）是的，我们可以休息一下。现在短暂休息一下。
（讲者：）好的。五分钟可以吗？
（学生：）是的。
（讲者：）好的。那么……
（系统提示：）本次会议正在录音。
正如我说的，人们喜欢AdS/CFT的原因是，它可以被精确地表述，并且可以被精确地检验。所以它是有用的，而不是……有无数个对这个对应关系的先前检验。所以你可以检验的一些东西，我们马上就要做的，是对称性。所以如果两个东西是相同的，那么双方的对称性最好是相同的。你可以检验希尔伯特空间是相同的。
嗯，但是，好的，除了这些非常基本的东西，你很快就会看到，如果你想匹配双方的东西，你需要一个字典。这个字典是，嗯，我把它写在黑板上了。它说体理论的配分函数。所以那是AdS理论，它是你理论中场的边界条件的函数，度规，任何你有的其他场。你实际上有无数个场，和CFT的配分函数是相同的，或者边界理论的配分函数，不管它是什么，作为这个理论中各种算符的源的函数。
是的，也许我应该更精确一点。这种类型的对应实际上应该在全息术中普遍有效，然后你可以把它具体化到一个CFT，然后你可以真正地理解它。但这是被认为是一般的提议。嗯，至少当你理解你在说什么的时候。
现在，我说的 $Z_{bulk}$ 是什么意思呢？所以体理论原则上是一个量子引力理论，在一个引力理论中，在某个流形 $M$ 上，固定 $M$ 上的度规是没有意义的，因为度规应该能够涨落。所以唯一有意义去固定的东西是边界条件，在 $M$ 边界上的度规，如果你愿意，只有时空的渐近结构，其余的你可以，你知道的，考虑不同的，你知道的，构型，你也可以考虑不同拓扑的构型，这在AdS/CFT中实际上很有趣，这种拓扑变化等等。好的，所以，我说的 $Z$ 是引力理论的配分函数，在边界处有固定的边界条件，在这个例子中是AdS5 x S5的边界，或者任何边界，但你没有固定内部的度规。
好的，非常好，所以这是字典。我们将在后面讨论它，但作为开始，我想做在这个对应关系中，在这个AdS/CFT对应关系中，人们可能匹配的最基本的事情，那就是匹配对称性。
嗯，所以我想匹配AdS的对称性与CFT的对称性，即使在这里，也有两种可以进行的讨论。所以人们通常在谈论匹配AdS/CFT中的对称性时，他们谈论的是真空态的对称性。好的。所以这些是你理论中一个特定基态的对称性，它们映射到空AdS的等距（isometries）。
好的。你看到“空”这个词了吗？
（学生：）是的。
嗯，然而这些只是一个态的对称性，如果你真的试图匹配两个理论的对称性，它们实际上有一个不同的对应关系，应该被检验。所以如果一个人试图做理论的对称性，那么这实际上映射到所谓的渐近对称性，渐近平坦时空的对称性。好的。所以，你看到区别了吗？当然，当你做任何，你知道的，你熟悉和喜爱的理论时，检验理论中一个特定态的对称性和检验作用量的对称性是有区别的。这就是我正在谈论的区别。而在我们最终要讨论的三维引力的特定情况下，这两者之间有很大的区别。这个是无限维的。这个是有限维的。这个是六维的。好的。所以，我们稍后会讨论渐近对称性。现在我只会向你们展示真空的等距映射到CFT中相应态的对称性。
（学生：）对不起，我有……我不清楚那个区别。我一直对哪种对称性映射到边界感到困惑。渐近的那个还是只是等距。对不起，这基本上和你说的相同，但你能再重复一遍吗，因为我一直对那一点感到困惑。
（讲者：）我稍后会讨论渐近对称性来向你解释它们是什么。但是如果你只在任何量子力学中思考，你的作用量的对称性，也就是理论的对称性，和某个特定态的对称性之间有很大的区别，或者拿，你知道的，真实世界，你知道的，标准模型是洛伦兹不变的。然而，我们周围的世界，我们所处的态，绝对不是洛伦兹不变的。
（学生：）好的。好的。
（讲者：）这就是区别。所以，我说的是当人们在检验，你知道的，他们看空AdS的等距时。空AdS某种程度上是理论的真空。它是真空几何。他们看的是一个态的对称性，态的对称性，这和理论的对称性不同，理论的对称性是不管在什么态下都存在的，就像标准模型是洛伦兹不变的，不管你决定把你的……放在什么态下。
（学生：）好的，好的，谢谢。
（讲者：）好的。
但现在我只会处理等距，因为我假设你们不知道什么是反德西特（Anti-de Sitter）时空。我说的对吗？
（学生：）呃，我知道那个，但是，也许……
（讲者：）你们在课程里学过吗？
（学生：）是的。
（讲者：）你们学过反德西特。
（学生：）是的。是的。就我而言，是的，但我不知道……我不知道其他人。
（讲者：）好的。那我该怎么办？呃，Daniel，你在吗？好的，我猜他不在。嗯，好的。嗯，有没有人不知道什么是反德西特时空？
（学生：）我只在广义相对论中学过这个，但在其他课题中没有。
（讲者：）对不起，你是说没有还是有？对不起，我没听得很清楚。
（学生：）我想没有。不完全有。
（讲者：）好的。
让我说几句话，好的，知道的人可能会觉得有点无聊，但是……所以反德西特时空，呃，我们将看这个，这是标准符号 $AdS_{d+1}$，因为小 $d$ 通常是边界维度，体是高一维的。所以这些是具有恒定负曲率的极大对称时空。因为它们是极大对称的，它们的黎曼张量可以完全用度规来写：
嗯，因为它们是极大对称的，所以它们有该维度下最大可能数量的基林矢量，基本上是 $(d+1)(d+2)/2$，然后你知道，好的，一旦你有了度规，你就可以找到所有那些基林矢量并计算李括号来找到相关的对称代数。它是 $SO(d, 2)$。这是等距群。这只是从基林矢量的代数得到的。呃，这是对于洛伦兹AdS，对于欧几里得AdS，它会是 $SO(d+1, 1)$，但我们不会谈论这个。
如果你想，构造这个反德西特时空上的度规的最简单方法是实际上嵌入它。所以为了构造，你把它嵌入到一个高一维的时空中，有两个时间维度。所以这些是 $d$ 个空间维度和两个时间维度，度规为 $ds^2 = \tilde{\eta}_{MN} dx^M dx^N$，其中 $\tilde{\eta}$ 是 $(-1, +1, ..., +1, -1)$。好的。所以你取这个高一维的，$d+2$ 维时空，不管怎样，有两个时间，然后你限制，它内建了这个 $SO(d, 2)$。所以你看到这个东西基本上是……被保持不变的度规。然后你限制到双曲面：
好的，所以你看到整个构造，这个和限制，都是 $SO(d, 2)$ 不变的，因为它有那个对称性，所以很明显你将得到的东西将有这个等距，这就是我们想要的。
嗯，好的，让我画个图。所以我想我可以在这里画我的图。所以，如果我，让我把这个看作是，呃，所以如果我称这个为 $x^0$，我称这个为 $x^{d+1}$。所以这两个是时间方向。所以这个沿着某种……合成的时间方向，比如说 $-(x^0)^2 - (x^{d+1})^2$。好的，这些是一些其他的 $x^i$，这里我画某种……那么双曲面，在时间上看起来像这样。好的。所以这是由 $x^2 = -L^2$ 给出的。好的。但是因为我有两个时间，实际上有一个 $U(1)$ 旋转。所以，嗯，你真的得到了……你真的得到了一个看起来像这样的东西。好的。这里基本上是那个作为两个负号方向之间的 $U(1)$ 旋转的 $U(1)$。
这个构造大致清楚吗？所以我构造一个双曲面，如果我有一个单一的时间方向，那会非常非常清楚。现在我有两个时间方向。所以我真的得到了一个额外的 $U(1)$，它在那种闭合曲线上作用。
好的。对不起。如果我想，你知道的，得到一个坐标系，我想做……如果我想在反德西特上得到一个坐标系，嗯，基本上我只需要，你知道的，写一些，你知道的，嵌入显式地，并显式地解这个约束。好的。所以一个非常好的嵌入，可以给你一套非常好的坐标，被称为全局坐标，由下式给出：
好的。所以你可以很容易地检查 $-(x^0)^2 - (x^{d+1})^2 + (x^i)^2 = -L^2 \cosh^2\rho + L^2 \sinh^2\rho = -L^2$。所以这满足这个约束。所以这是一个很好的嵌入，然后如果你想找到双曲面上的诱导度规，也就是诱导AdS度规，基本上你只需取这些表达式，然后把它们代入到闵可夫斯基度规中。好的，一些项会抵消，你会剩下 $d+1$ 维的度规。好的。这个 $d+1$ 维的度规非常简单，是：
好的，这是 $d-1$ 维球面上的度规。好的。这使得 $SO(d-1)$ 不变性显而易见。呃，当然，我写的这个 $\tau$ 坐标是原始的 $U(1)$ 坐标，它沿着闭合类时曲线。所以正如我解释的，闵可夫斯基空间中的双曲面，有两个时间，实际上有闭合类时曲线。但是这里我可以轻易地把那个 $\tau$ 坐标解紧化，AdS没有任何问题。好的。所以这就是我必须做的。
嗯，你们告诉我你们学过彭罗斯图。所以，现在如果我想表示这个时空，那么我可以尝试表示它。好的。所以，这个时空不是紧致的，正如你所见，因为 $\rho$ 在零和无穷大之间。好的。所以为了表示它，我可以尝试画一个彭罗斯图。为了做到这一点，我应该让它，你知道的，我应该换到一些范围是紧致的坐标，嗯，所以我可以很容易地对 $\rho$ 坐标做这个。我可以只引入，我可以只说 $\cosh\rho = 1/\cos\theta$，其中 $\theta$ 在0和 $\pi/2$ 之间。好的，你看到了吗，$\theta=0$时，$\cos\theta=1$，所以 $\rho=0$，当 $\theta=\pi/2$ 时，这个趋于无穷大，它会增加。
好的。所以，我可以做这个坐标变换，不知何故我没有很好地组织我的黑板。对此我很抱歉。所以，让我擦掉这个。嗯，当我这样做时，度规，你知道的，我可以在度规中用 $\theta$ 替换 $\rho$，我得到的是：
好的。啊。非常好。嗯，现在你看到基本上发生的是。好的，让我们忘记 $\tau$ 是紧致的。但是 $\theta$ 是一个紧致的坐标，然后我之前在度规中所有的无穷大都只是收集到一个共形因子中。所以，当 $\theta$ 趋于 $\pi/2$ 时，这之前对应于 $\rho$ 趋于无穷大，我的时空的无穷远。现在所有那个无穷远都在我的度规的一个整体因子中，彭罗斯图的整个要点是，我可以专注于共形因子中的发散，然后我扔掉它，我只画共形相关的时空，它确实适合一块有限的纸。
非常好，呃，所以我不应该关心这个前置因子，因为我要画一个彭罗斯图，它不关心前置因子。问题是，这部分时空是什么？它的度规是什么，其中 $\theta$ 在0和 $\pi/2$ 之间？
（学生：）一个球面。
（讲者：）一个球面。
它在多少维度上是一个球面？
（学生：）如果这是 $d-1$，它会是一个 $d$ 维球面。
（讲者：）它是一个完整的球面吗？
（学生：）呃不。它只是它的一部分。
是的，它会是半个球面，因为在一个真正的球面上，$\theta$ 在0和 $\pi$ 之间，而对我来说，$\theta$ 只从0到 $\pi/2$。所以我只得到半个球面，这和拓扑上讲的一个圆盘是相同的。好的。所以基本上我将得到一个像这样的图。所以实际上为了AdS的目的，人们通常不关心 $\tau$ 是非紧致的事实。一些人关心，然后他们把它画成，你知道的，像这样的尖角。但好的，让我们忘记它。所以我仍然保持 $\tau$ 非紧致。然后我有这个球面。所以 $\theta=0$ 在这里。$\theta=\pi/2$ 在边界。好的。这是一个圆盘，它和半个球面是相同的。好的。所以这是……好的。
现在你有了彭罗斯图，彭罗斯图的巨大用处，你们学过的，是你可以轻易地看到光线的轨迹，它们以45度角传播。嗯，你应该能非常容易地看到的一件事是，如果你向边界发射一道光线，让我把它画成黄色的，它在有限的坐标时间内到达AdS的边界。你们能告诉我，从这里发射的一道光线到达边界需要多长时间吗？只是为了帮助你们。我假设光线是径向发射的。好的。问题是，一道光线从AdS的中心，也就是 $\theta=0$ 处，到AdS的边界，也就是 $\theta=\pi/2$ 处，需要多少坐标时间？
（学生：）嗯，也许与 $L$ 成正比。
（讲者：）它也与 $L$ 成正比。所以我现在把 $L$ 设为1。
你说得对。有一个 $L$ 的因子。但如果 $L=1$，那么时间是多少？
（学生：）对不起，这里“径向”是指沿着……
（讲者：）是的，沿着一个恒定的角度，这意味着我不关心度规的这一部分，因为它停在一个恒定的角度，所以 $d\Omega$ 是零。
（学生：）所以我只需要看度规的这一部分来……
是的。你不需要关心外面的前置因子，对吧？因为你只是把 $ds^2$ 设为零。但是，当然这是无量纲的，这应该是带量纲的。所以为了量纲原因，这里应该真的有一个 $L$ 的因子，但我把它设为1了。所以你确实看到光线的轨迹会是，你知道的，$\tau = \theta$，而 $\theta$ 从0到 $\pi/2$。所以 $\Delta\tau$ 会是 $\pi/2$。好的。所以，从这里到这里需要 $\pi/2$。所以，你知道的，去然后反弹回来会需要 $\pi$ 时间乘以 $L_s$（应为$L$），因为我真的应该用AdS单位来测量时间。
好的。所以这是反德西特时空的一个非常有趣的图景。这在平坦空间中显然不会发生。在平坦空间中，你向无穷远发射一道光线。它只会去到无穷远，永远不会回来。在AdS中，如果你在边界设置反射边界条件，这在AdS中非常自然，它在有限的坐标时间内回来，在大约一个AdS单位的时间内。
嗯，尽管事实是到AdS的径向距离，在完整的物理度规中测量，实际上是无限的，对吧？这些边界在物理上是无限远的坐标距离，但光线只需要有限的时间就能回来。
好的，所以这些是光线。人们也可以看有质量的粒子，它们沿着类时测地线运动，你知道的，我没有时间推导它，但实际上，我会把我的笔记放上去，所以你可以看到计算，或者你可以自己做。实际上，有质量的粒子永远不会到达边界。所以它们某种程度上在这里来回反弹。好的。你可以证明，你知道的，好的，所以你用越多的能量把它们送向边界，它们到达得越远，但它们永远不会到达边界。所以在AdS中为场设置狄利克雷边界条件是某种程度上非常非常自然的，因为，嗯，因为，好的，无论如何，这些家伙在经典单位中在边界被反射。好的，所以这基本上对有质量的粒子起到了一个限制盒的作用，这非常棒。
我想说的关于AdS的最后一件事，所以这些是全局坐标，它们覆盖了整个时空。人们喜欢用的另一套坐标是所谓的庞加莱（Poincaré）坐标，好的，你可以看我的笔记或者……好的，这是超标准的。所以AdS上的庞加莱坐标，你可以做一个稍微不同的嵌入，它们看起来像这样：
所以现在 $z$ 是径向坐标。$z \to 0$ 是共形边界，这些基本上是边界坐标，它们使得边界是洛伦兹不变的事实变得明显。嗯，所以这些坐标有时比全局坐标更容易使用。这就是为什么人们使用它们。然而，它们只覆盖了AdS空间的一部分。所以，实际上它们只覆盖了……我总是有问题。所以，它们只覆盖了一个菱形区域。所以，我该怎么做呢？这样做。好的。所以我写的那些庞加莱坐标，它们只覆盖了时空的一部分，这部分在边界上看起来像一个菱形。所以如果我展开边界圆柱体，庞加莱坐标覆盖了那个圆柱体的一个菱形，在体中，好的，它是体，你知道的，所以这是反德西特时空上另一套重要的坐标。
到目前为止，好的，所以，这些不同的坐标系使得AdS的不同等距变得明显。所以正如我说的，在这里很容易看到洛伦兹对称性，你也可以很容易地看到在轴上的平移。嗯，你也可以看到标度变换。所以如果你把 $z$ 和 $x^\mu$ 用同一个常数重新标度，你显然需要……所以它们使得这个坐标系中的某个伸缩对称性变得明显，这在稍后我们与CFT比较时会很有用。
好的，所以到目前为止我介绍的是空AdS的等距。正如我解释的，这些是真空解的对称性，下次我将谈论什么是CFT，它们有什么对称性，我们会说这映射到CFT的对称性，特别是……的对称性。好的。
好的。所以今天我就到这里，请告诉我是否有任何问题。